Как вступить в наследство на долю дяди по завещанию, если свидетельство о смерти не выдают?

Главный инструмент — нотариус. С 2025 года у нотариусов есть прямой доступ к Единому государственному реестру ЗАГС (ЕГР ЗАГС). Он сам запросит сведения о смерти дяди и получит выписку из актовой записи — даже если тётя не отдаёт оригинал. Вам не нужно бегать за документом отдельно: просто при подаче заявления у нотариуса скажите, что свидетельства нет, и попросите сделать такой запрос. Если нотариус откажет — попросите письменный отказ: на этом основании можно жаловаться в Нотариальную палату. 
Что ещё важно сделать параллельно:
Проверьте, не открыто ли уже наследственное дело. Зайдите в Реестр наследственных дел на сайте Федеральной нотариальной палаты. Введите ФИО дяди, дату рождения и смерти — система покажет, ведёт ли кто-то дело. Если дело уже есть, вам нужно обращаться к этому нотариусу. 
Подготовьте документы. Возьмите с собой паспорт, само завещание (оно должно быть действующим — нотариус проверит в базе ЕИС нотариата), а также документы, подтверждающие ваше родство с дядей (если это не очевидно из завещания — например, свидетельства о рождении, где дядя указан родителем). 
Параллельно со сбором бумаг можно начать фактически принимать наследство. Оплата коммунальных услуг за долю дяди — это как раз то, что показывает: вы распоряжаетесь имуществом, то есть фактически принимаете наследство. Это усилит вашу позицию, когда дело дойдёт до выдачи свидетельства. 
Важное про срок. У вас есть 6 месяцев со дня смерти дяди, чтобы подать заявление нотариусу. Не тяните: даже если вы пока только собираете документы, сам факт подачи заявления запускает течение срока. 
А если возникнут сложности? Например, в ЕГР ЗАГС не окажется записи (такое бывает при международных случаях) или возникнет спор о факте смерти. Тогда вопрос придётся решать в суде: суд установит факт смерти, и на основании решения ЗАГС выдаст повторное свидетельство, которое уже можно будет предоставить нотариусу. 
Про квартиру. То, что квартира пока не стоит на учёте в Росреестре, — это техническая деталь. Нотариус на основе правоустанавливающих документов (договор купли-продажи, приватизации и т.п.) сам запросит выписку из ЕГРН, чтобы подтвердить право собственности дяди на этот объект. Вам не нужно делать это заранее. 
Итог: идите к нотариусу по последнему месту жительства дяди (или проверьте реестр — это сэкономит время). Сообщите о ситуации со свидетельством, попросите сделать запрос в ЗАГС. Параллельно собирайте документы на квартиру и готовьте доказательства фактического принятия. Так вы закроете вопрос без лишних задержек.