Виталий Эдуардович, добрый день!
Правовое положение супруги самостоятельно на дает права проживать с отцом (супругом) и сыном отца в одной квартире (комнате).
При этом такое право возникнет у супруги исключительно в случае письменного согласия всех членов семьи, то есть отца и сына. Без такого согласие проживание супруги не является правомерным.
Для общего сведения, института прописки на сегодняшний день не существует, есть, как Вы и указали, регистрация — по месту пребывания или по месту жительства.
Далее, что для принципиально (выделил жирным), согласно п. 26.1 Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (утв. Приказом ФМС России от 11.09.2012 г. № 288):
26. Для регистрации по месту жительства:
26.1. Гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:
документ, удостоверяющий личность;
заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 3 к Регламенту);
документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц), предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение), решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением). Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов, за исключением случая, предусмотренного пунктом 30 Регламента.
При этом, согласно п. 26.3 указанного Административного регламента:
26.3. Проживающие совместно с нанимателем жилого помещения совершеннолетние пользователисвое согласие на вселение членов семьи нанимателя жилого помещения и их постоянное проживание выражают в письменной форме.
В случае вселения в жилое помещение граждан, не являющихся членами семьи нанимателя жилого помещения, проживающие совместно с ним совершеннолетние пользователи и наймодатель свое согласие на постоянное проживание указанных граждан выражают в письменной форме.
Таким образом, супруга отца даже юридически не будет зарегистрирована при отсутствии письменного согласия сына отца.
С уважением
Выдаевич Дмитрий.