Есть ли смысл подавать в суд?

Да, Мария, безусловно Вы и ваша дочь имеете полное право на возмещение вреда здоровью и компенсацию морального вреда, ниже приведу основания.

Ст. 1084 ГК РФ:

Вред, причиненный жизни или здоровью гражданина при исполнении договорных обязательств, а также при исполнении обязанностей военной службы, службы в полиции и других соответствующих обязанностей возмещается по правилам, предусмотренным настоящей главой, если законом или договором не предусмотрен более высокий размер ответственности.

Ст. 1085 ГК РФ:

1. При причинении гражданину увечья или ином повреждении его здоровья возмещению подлежит утраченный потерпевшим заработок (доход), который он имел либо определенно мог иметь, а также дополнительно понесенные расходы, вызванные повреждением здоровья, в том числе расходы на лечение, дополнительное питание, приобретение лекарств, протезирование, посторонний уход, санаторно-курортное лечение, приобретение специальных транспортных средств, подготовку к другой профессии, если установлено, что потерпевший нуждается в этих видах помощи и ухода и не имеет права на их бесплатное получение.

Ст. 1087 ГК РФ:

1. В случае увечья или иного повреждения здоровья несовершеннолетнего, не достигшего четырнадцати лет (малолетнего) и не имеющего заработка (дохода), лицо, ответственное за причиненный вред, обязано возместить расходы, вызванные повреждением здоровья.

Ст. 1095 ГК РФ:

Вред, причиненный жизни, здоровью или имуществу гражданина либо имуществу юридического лица вследствие конструктивных, рецептурных или иных недостатков товара, работы или услуги, а также вследствие недостоверной или недостаточной информации о товаре (работе, услуге), подлежит возмещению продавцом или изготовителем товара, лицом, выполнившим работу или оказавшим услугу (исполнителем), независимо от их вины и от того, состоял потерпевший с ними в договорных отношениях или нет.

Что касается компенсации морального вреда, то она предусмотрена ст. 151 ГК РФ 

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

Ст. 1101 ГК РФ: 

1. Компенсация морального вреда осуществляется в денежной форме.

2. Размер компенсации морального вреда определяется судом в зависимости от характера причиненных потерпевшему физических и нравственных страданий, а также степени вины причинителя вреда в случаях, когда вина является основанием возмещения вреда. При определении размера компенсации вреда должны учитываться требования разумности и справедливости.

Характер физических и нравственных страданий оценивается судом с учетом фактических обстоятельств, при которых был причинен моральный вред, и индивидуальных особенностей потерпевшего.

В данном случае Вам необходимо для начала предъявить претензию на имя руководства данной организации, в претензии укажите, когда произошел несчастный случай, размер ваших требований, в них включите все понесенные вами расходы в связи с лечением, в том числе, а также размер компенсации морального вреда на ваше усмотрение.

Если откажут, обращайтесь в суд с иском к данной организации. К иску приложите копии всех медицинских документов и квитанций о понесенных расходах на лечение. В иск можно включить также требования о будущих расходах на реабилитацию, например, стоимость путевки и т.п.

А как определить (примерно) размер компенсации морального вреда?

Мария,

 с иском в суд обратиться может любой гражданин. Вопрос в том, будет ли иск удовлетворён судом. Иначе говоря, есть ли законные основания для удовлетворения иска.

В Вашем случае следует установить: в чём именно состоит вина сотрудников бассейна? Какие именно правила техники безопасности при проведении тренировок были нарушены? Согласитесь, что ведь не исключена грубая неосторожность самого потерпевшего от несчастного случая.

Поэтому, если Вас не затруднит, не могли бы Вы более подробно пояснитть, при каких обстоятельствах Вами была получена травма?

Виноват, опечатался: не «Вами», а Вашей дочерью.