Могу ли я приватизировать квартиру раньше чем через 5 лет?

А что же тогда мне делать с жильем? Ведь где то я должна жить, или так и должно быть?

Вы можете проживать в этой квартире и пользоваться ею. А собственность на нее (приватизацию) оформите после истечения 5летнего срока, я практически уверена, что законодательством это будет предусмотрено для подобных ситуаций, когда жилое помещение по договору социального найма предоставляется позже. В России много категорий граждан, которые будут получать жилые помещения по договору соцнайма после окончания срока приватизации Либо их право получать жилые помещения в собственность предусмотрят отдельными законодательными актами, либо в очередной раз перенесут срок окончания приватизации, как это уже происходило. 

Исходя из содержания вопроса, то, что Вы через 5 лет сможете приватизировать занимаемую квартиру, предусмотрено находящимся у Вас договором?

Если сильно сомневаетесь, что с Вашим договором все в порядке, обратитесь с письменным заявлением в органы прокуратуры, попросите разъяснить сложившуюся ситуацию, они владеют нормативными правовыми актами по указанному вопросу, действующими на территории субъекта РФ, в котором Вам предоставлено жилое помещение (Москва, насколько я поняла из указанных сведений?) Данные вопросы находятся у них на контроле, при необходимости прокурор обратится в суд с исковым заявлением в Ваших интересах, это бесплатно. 

В настоящее время в отношении предоставления жилых помещений для лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, на территории РФ действуют новые правовые нормы. Теперь жилое помещение предоставляется на первые 5 лет по договору найма специализированного жилого помещения + допускается однократное продление еще на 5 лет, а затем это жилое помещение исключается из состава специализированного жилого фонда и уполномоченные органы обязаны заключить договор социального найма. Т.е. фактически пилотный опыт Москвы/Московской области распространили на всю страну. 

Данные вопросы регулируются ст. 8  Федерального закона № 159-ФЗ «О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей»

6. Срок действия договора найма специализированного жилого помещения, предоставляемого в соответствии с пунктом 1 настоящей статьи, составляет пять лет.
В случае выявления обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, договор найма специализированного жилого помещения может быть заключен на новый пятилетний срок по решению органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации. Порядок выявления этих обстоятельств устанавливается законодательством субъекта Российской Федерации. Договор найма специализированного жилого помещения может быть заключен на новый пятилетний срок не более чем один раз.
По окончании срока действия договора найма специализированного жилого помещения и при отсутствии обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации, осуществляющий управление государственным жилищным фондом, обязан принять решение об исключении жилого помещения из специализированного жилищного фонда и заключить с лицами, указанными в пункте 1 настоящей статьи, договор социального найма в отношении данного жилого помещения в порядке, установленном законодательством субъекта Российской Федерации.