Трудовое законодательство предусматривает не просто право, а обязанность работодателя запросить справку об отсутствии судимости у работника, осуществляющего работу с детьми
справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию.
Что касается справок от нарколога и психиатра, то права требовать их нет, но есть обязанность проводить периодические медицинские обследование за счет средств учредителей (работодателя), что указано в ст. 51 закона Об образовании. Указанные медицинские обследования включают обследование психиатра и нарколога в том числе.
Таким образом, если это сопряжено для вас с дополнительными расходами, вы имеете право потребовать их компенсации от работодателя.