Совместное заявление об установлении отцовства отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка, подается ими в письменной форме в орган записи актов гражданского состояния.
В случае, если отец или мать ребенка не имеют возможности лично подать заявление, их волеизъявление может быть оформлено отдельными заявлениями об установлении отцовства. Подпись лица, не имеющего возможности присутствовать при подаче такого заявления, должна быть нотариально удостоверена.
Т.е. по месту жительства вашего мужа он может обратиться к нотариусу и удостоверить свою подпись на заявлении о признании отцовства, которое можно отправить в орган ЗАГС почтой.
Вы не обязаны подавать заявление о взыскании алиментов на общего ребенка. А нужно или нет — зависит от Ваших целей. Если он и так содержит ребенка, при этом вы согласны добровольно платить алименты внебрачному ребенку — обращаться вам с заявлением о взыскании алиментов нет необходимости.