Здравствуйте, Марина Михайловна!
1) Если есть завещание на дочь, то наследует только она.
2) Внуки никогда первыми не наследуют (за исключением завещания) — п. 2 ст. 1142 ГК РФ. Только — по праву представления, т.е. когда их родители умирают до или одновременно с наследодателем.
Ответы на Ваши вопросы:
1) вступить в права наследства дочери, потом написать дарственную сыну, т.е. внуку бабушки, живущему в этой квартире
Марина Михайловна
Да, это вполне возможно.
2) дочери не предъявлять права на квартиру, пусть сразу предъявит внук
Марина Михайловна
Как я написал выше, внук на это права не имеет.
3) если никому не предъявлять права на квартиру, каков будет статус квартиры (муниципальный или приватизированный)
Марина Михайловна
Если никто не вступает в наследство, то квартира приобретает статус «выморочного имущества» и затем переходит в собственность субъекта РФ — г. Москвы (п. 1 ст. 1151 ГК РФ). Жилое помещение включается в соответствующий жилищный фонд социального использования.
У дочери есть доля в другой квартире. А внук проживал в квартире на момент смерти бабушки.
Марина Михайловна
В данном случае это значения не имеет.
Что значит наследник следующей очереди? У бабушки осталась только дочь с внуками и родная сестра. Сестра не будет претендовать. Разве внук не является наследником следующей очереди?