Отсрочка выселения из служебного жилья

Если решение вступило в законную силу (можно конечно было обжаловать — это хорошо бы помогло оттянуть), то механизм только один — просить суд отсрочить исполнение решения суда

ГПК РФ

Статья 203. Отсрочка или рассрочка исполнения решения суда, изменение способа и порядка исполнения решения суда
1. Суд, рассмотревший дело, по заявлениям лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя либо исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельств вправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.
2. Указанные в части первой настоящей статьи заявления рассматриваются в судебном заседании. Лица, участвующие в деле, извещаются о времени и месте судебного заседания, однако их неявка не является препятствием к рассмотрению и разрешению поставленного перед судом вопроса.
3. На определение суда об отсрочке или о рассрочке исполнения решения суда, об изменении способа и порядка его исполнения может быть подана частная жалоба.

Решение вступило в силу?

Если же решение не вступило в силу, то его необходимо обжаловать в апелляции, при этом оно не вступит в силу до вынесения апелляционного определения и следовательно не будет подлежать исполнению. После вступления в силу его можно как просить отсрочить (см. выше), так и просить суд приостановить исполнение решения

ГПК РФ

Статья 437. Право суда приостановить исполнительное производство
Суд вправе приостановить исполнительное производство полностью или частично в случаях, предусмотренных Федеральным законом «Об исполнительном производстве».

При этом:

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН
ОБ ИСПОЛНИТЕЛЬНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ
Статья 39. Приостановление исполнительного производства судом
1. Исполнительное производство подлежит приостановлению судом полностью или частично в случаях:
1) предъявления иска об освобождении от наложенного ареста (исключении из описи) имущества, на которое обращено взыскание по исполнительному документу;
2) оспаривания результатов оценки арестованного имущества;
3) оспаривания постановления судебного пристава-исполнителя о взыскании исполнительского сбора;
4) в иных случаях, предусмотренных федеральным законом.
2. Исполнительное производствоможет быть приостановлено судом в порядке, установленном процессуальным законодательством Российской Федерации и настоящим Федеральным законом, полностью или частично в случаях:
1) оспаривания исполнительного документаили судебного акта, на основании которого выдан исполнительный документ;
2) оспаривания в суде акта органа или должностного лица, уполномоченного рассматривать дела об административных правонарушениях;
3) нахождения должника в длительной служебной командировке;
4) принятия к производству заявления об оспаривании постановления, действий (бездействия) судебного пристава-исполнителя или отказа в совершении действий;
5) обращения взыскателя, должника или судебного пристава-исполнителя в суд, другой орган или к должностному лицу, выдавшим исполнительный документ, с заявлением о разъяснении положений исполнительного документа, способа и порядка его исполнения;
6) в иных случаях, предусмотренных статьей 40 настоящего Федерального закона.