Доказывать в данной ситуации нужно работодателю, а не работнику. Доказать, что этот день был рабочим для сотрудника (график сменности, табель или трудовой договор ему в помощь) и доказать, что работник был пьян (медицинское заключение или свидетельские показания).
Подробнее:
При увольнении по подпункту «б» пункта 6 части первой статьи 81 Трудового кодекса РФ необходимо установить, что сотрудник находился в состоянии алкогольного опьянения именно в рабочее для него время. Если факт опьянения зафиксирован, когда сотрудник находится на своем рабочем месте за пределами рабочего графика – по окончании смены, в выходные или во время отпуска – то
увольнение неправомерно. Если сотрудник находится в состоянии опьянения
до начала рабочей смены, то, чтобы иметь возможность его уволить, необходимо дождаться начала работы и только тогда зафиксировать факт алкогольного опьянения и отстранить сотрудника от работы. Уклонение от данного порядка может стать основанием для признания увольнения незаконным и восстановления сотрудника на работе.
Правомерность позиции подтверждают:
апелляционное определение Ярославского областного суда от 18 октября 2012 г. № 33-5617
апелляционное определение Кемеровского областного суда от 29 февраля 2012 г. № 33-1590
определение Санкт-Петербургского городского суда от 15 марта 2011 г. № 33-3463/2011
определение Пермского краевого суда от 15 июля 2010 г. № 33-5883