Здравствуйте Денис. Заявления подобного рода в судах рассматриваются на в течении некоторого времени (обычно 2-3 недели с момента поступления заявления), т.е. время у Вас скорее есть. Зависит от того, когда подан иск.
В службу судебных приставов УК сможет обратиться только после судебного решения. Далее возбуждается исполнительное производство, в ходе которого действительно взыскание может быть обращено на имущество и денежные средства должника. Пристав обязан письменно уведомить должника о возбуждении производства, после чего есть 5 дней для добровольного погашения задолженности. Это тоже дополнительное время.
Вопросы предоставления и оплаты коммунальных услуг регулируются Постановлением Правительства РФ от 06.05.2011 N 354 «О предоставлении коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов», если интересно посмотрите.
Вам целесообразно обратиться в управляющую компанию, объяснить сроки в которые Вы планируйте погасить задолженность, и заключить с ней соглашение о погашении задолженности, после чего погасить долг в соответствии с ним.