Куда подавать документы на вступление в право собственности на квартиру?

Здравствуйте, Артем!
Вашей бабушке и Вам нужно вступать в наследование, т.к. Вы являетесь наследниками первой очереди после нее.
Вам нужно идти к нотариусу, оформлять свидетельство о праве на насоедство, а затем оформлять право собственности на 1/3 доли (по половине Вам и Вашей бабушке — т.е. по 1/6).
Если есть и другие наследники (например, братья/сестры/супруг Вашей мамы), то все Вы будете наследовать в равных долях.

Срок на принятие наследства ДО 6 месяцев. То есть обратиться к нотариусу нужно до этого срока. Если срок пропущен, но вы зарегистрированы с бабушкой и мамой были все вместе, то срок не пропущен, нотариус откроет вам дело в любое время