Что стоит сделать в период проверки, если изъяли права и машину?

Действительно Вас могут привлечь к уголовной ответственности по части 3 ст. 327 УК РФ, как использование заведомо подложного документа, то есть водительского удостоверения. Расследование будет проводится в Рязани, так как подследственность территориальная, в соответствии с ч.2 ст. 152 УПК РФ. определяется по месту окончания преступления, когда оно начато в одном, а закончено в другом месте.

2. Если преступление было начато в одном месте, а окончено в другом месте, то уголовное дело расследуется по месту окончания преступления.

Передавать в Москву не будут. Однако если ходатайствовать, то в соответствии с ч. 4 ст. 152 УПК РФ теоретически возможно.

Предварительное расследование может производиться по месту нахождения обвиняемого или большинства свидетелей в целях обеспечения его полноты, объективности и соблюдения процессуальных сроков.

Ждать конечно следует суда и приговора.

По поводу автомашины следует заявить ходатайство о передаче ее Вам на хранение.

Статья 327. Подделка, изготовление или сбыт поддельных документов, государственных наград, штампов, печатей, бланков
[Уголовный кодекс РФ] [Глава 32] [Статья 327]
1. Подделка удостоверения или иного официального документа, предоставляющего права или освобождающего от обязанностей, в целях его использования либо сбыт такого документа, а равно изготовление в тех же целях или сбыт поддельных государственных наград Российской Федерации, РСФСР, СССР, штампов, печатей, бланков — наказываются ограничением свободы на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.
2. Те же деяния, совершенные с целью скрыть другое преступление или облегчить его совершение, — наказываются принудительными работами на срок до четырех лет либо лишением свободы на тот же срок.
3. Использование заведомо подложного документа — наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев.