Здравствуйте,
в данной ситуации два направления правоотношений
1. права и обязанности, возникающие в результате наследования/отказа от него
2. права и обязанности члена семьи нанимателя/собственника квартиры.
По п.1 все просто. Долги наследодателя переходят к его наследникам, принявшим наследство. Если Вы от наследства отказались, то эти долги на Вас не переходят.
По п.2 сложнее. члены семьи собственника/нанимателя по жилищному кодексу несут солидарную с ним ответственность по оплате коммунальных услуг. Т.е. Ваша ответственность могла возникнуть не в порядке наследования, а в связи с тем, что Вы были зарегистрированы в квартире.
Раз у Вас идет общение с приставами, значит уже было какое-то судебное решение. Соответственно имеет значение, кто в этом решении является ответчиком/должником и с кого взыскан долг. Если долг взыскан только с умершего, то к Вам это решение никакое значение не имеет. Если же Вы там тоже указаны в качестве должника, то пристав все равно будет его исполнять в отношении Вас. Т.е. Вам нужно эту информацию уточнить.
А что касается регистрации в другом доме, то никаких препятствий у Вас нет — подавайте заявление по новому месту жительства о регистрации, где Вас поставят на учет и снимут по старому адресу, о чем будет в тот паспортный стол направлено соответствующее уведомление.