Оплатит ли бюджетная организация переезд сотрудника, проработавшего 5 лет?

К сожалению вам ничего не оплатят Придется вам за свой счет переезжать

Статья 169 ТК РФ устанавливает, что при переезде работника по предварительной договоренности с работодателем на работу в другую местность работодатель обязан возместить работнику:

-расходы по переезду работника, членов его семьи и провозу имущества (за исключением случаев, когда работодатель предоставляет работнику соответствующие средства передвижения);
-расходы по обустройству на новом месте жительства.

Порядок и размеры возмещения расходов при переезде на работу в другую местность работникам, заключившим трудовой договор о работе в государственных органах субъектов Российской Федерации, работникам территориальных фондов обязательного медицинского страхования или государственных учреждений субъектов Российской Федерации, лицам, работающим в органах местного самоуправления, работникам муниципальных учреждений определяются соответственно нормативными правовыми актами органов государственной власти субъектов Российской Федерации, нормативными правовыми актами органов местного самоуправления.

Следовательно, необходимо изучить соответствующий нормативно-правовой акт регламентирующий данные вопросы по Вашему новому месту работы, если возмещение предусмотрено то должны будут его предоставить.