Могут ли работника ФГУП заставить перейти с бессрочного трудового договора на срочный?

Здравствуйте, Максим!

Нет, это незаконно. Рекомендую не подписывать срочный договор.

Если срочный трудовой договор заключен работником вынужденно, суд применяет правила договора, заключенного на неопределенный срок.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2
(ред. от 24.11.2015)
«О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации»

13. Решая вопрос об обоснованности заключения с работником срочного трудового договора, следует учитывать, что такой договор заключается, когда трудовые отношения не могут быть установлены на неопределенный срок с учетом характера предстоящей работы или условий ее выполнения, в частности в случаях, предусмотренных частью первой статьи 59 ТК РФ, а также в других случаях, установленных Кодексом или иными федеральными законами (часть вторая статьи 58, часть первая статьи 59 ТК РФ).
В соответствии с частью второй статьи 58 ТК РФ в случаях, предусмотренных частью второй статьи 59 Кодекса, срочный трудовой договор может заключаться без учета характера предстоящей работы и условий ее выполнения. При этом необходимо иметь в виду, что такой договор может быть признан правомерным, если имелось соглашение сторон (часть вторая статьи 59 ТК РФ), т.е. если он заключен на основе добровольного согласия работника и работодателя.
Если судом при разрешении спора о правомерности заключения срочного трудового договора будет установлено, что он заключен работником вынужденно, суд применяет правила договора, заключенного на неопределенный срок.