Здравствуйте, Александр.
Вы вправе обратиться в суд с иском о признании отношений трудовыми, восстановлении на работе.
Для доказывания наличия трудовых отношений подойдут любые полученные с соблюдением закона доказательства, в том числе Ваши объяснения в суде, показания свидетелей, показания ответчика, документальные доказательства, может быть сфотографированные или скопированные графики дежурства, должностные инструкции, фото рабочего места и т.п.
В суд надо обратиться в течение 1 месяца с даты увольнения. Госпошлина не оплачивается. Подать иск Вы можете по месту своего жительства.
Трудовой кодекс
Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора
Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении — в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.
Также работодателя могут привлечь к административной ответственности за неоформление трудового договора, Вы можете подать жалобу в государственную инспекцию труда, можно по электронке.
С уважением! Г.А. Кураев
Нормы об административной ответственности