Закроется ли проверка по факту нанесения телесных повреждений, если достигнуто примирение сторон?

Потому что:

1) если статья 115 УК РФ. Умышленное причинение легкого вреда здоровью

1. Умышленное причинение легкого вреда здоровью, вызвавшего кратковременное расстройство здоровья или незначительную стойкую утрату общей трудоспособности, — наказывается штрафом в размере до сорока тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо арестом на срок до четырех месяцев.

Дело частного обвинения возбуждается не иначе как по заявлению потерпевшего.

2) если статья 112 УК РФ. Умышленное причинение средней тяжести вреда здоровью

1. Умышленное причинение средней тяжести вреда здоровью, не опасного для жизни человека и не повлекшего последствий, указанных в статье 111 настоящего Кодекса, но вызвавшего длительное расстройство здоровья или значительную стойкую утрату общей трудоспособности менее чем на одну треть, — наказывается ограничением свободы на срок до трех лет, либо принудительными работами на срок до трех лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до трех лет.

Преступление относится к преступлениям публичного обвинения, возбуждается вне зависимости от позиции потерпевшего.

Если дело будет возбуждено, полученные Вами документы будут рассматриваться в качестве смягчающих вину обстоятельств.

Кроме того, прекращение уголовного дела в связи с примирением сторон регулируется ст.76 УК РФ и ст.25 УПК РФ.

Так, на основании ст.76 УК РФ /Освобождение от уголовной ответственности в связи с примирением с потерпевшим/:
лицо, впервые совершившее преступление небольшой или средней тяжести, может быть освобождено от уголовной ответственности, если оно примирилось с потерпевшим и загладило причиненный потерпевшему вред.

В соответствии со ст.25 УПК РФ /Прекращение уголовного дела в связи с примирением сторон/:

суд, а также следователь с согласия руководителя следственного органа или дознаватель с согласия прокурора вправе на основании заявления потерпевшего или его законного представителя прекратить уголовное дело в отношении лица, подозреваемого или обвиняемого в совершении преступления небольшой или средней тяжести, если это лицо примирилось с потерпевшим и загладило причиненный ему вред.

Согласно ч.ч.2-3 ст.15 УК РФ /Категории преступлений/:

преступлениями небольшой тяжести признаются умышленные и неосторожные деяния, за совершение которых максимальное наказание не превышает 3-х лет лишения свободы.
преступлениями средней тяжести признаются умышленные деяния, за совершение которых максимальное наказание не превышает 5-ти лет лишения свободы, и неосторожные деяния, за совершение которых максимальное наказание, не превышает 3 года лишения свободы.