Можно ли обратиться в суд, если есть акт выполненных работ, но нет бумажного договора?

Да можно. Подписание акта означает приемку работ, видимо, без претензий. Договор может быть заключен не только в виде единого документа, но и путем обмена письмами и другими документами. В вашем случае в акте не определен срок оплаты работ. Тогда действует пункт 2 статьи 314 Гражданского кодекса

2. В случаях, когда обязательство не предусматривает срок его исполнения и не содержит условия, позволяющие определить этот срок, а равно и в случаях, когда срок исполнения обязательства определен моментом востребования, обязательство должно быть исполнено в течение семи дней со дня предъявления кредитором требования о его исполнении, если обязанность исполнения в другой срок не предусмотрена законом, иными правовыми актами, условиями обязательства или не вытекает из обычаев либо существа обязательства. При непредъявлении кредитором в разумный срок требования об исполнении такого обязательства должник вправе потребовать от кредитора принять исполнение, если иное не предусмотрено законом, иными правовыми актами, условиями обязательства или не явствует из обычаев либо существа обязательства.

Сначала пишете требование об оплате работ, в течение семи дней должна быть оплата. Если нет оплаты — претензия, а потом суд.

Прежде чем идти в суд следует учесть, что в соответствии со ст.56 ГПК РФ каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений. таким образом необходимо иметь ввиду что в суде надо доказать, и соответственно документарно.