Каким образом подать заявление в Конституционный суд РФ?

А попроще организацию нельзя найти. Если вы получили письменный отказ в получении субсидии, вы можете пожаловаться в прокуратуру либо обжаловать решение органа в районный суд.

О констиуционном суде РФ
Статья 21. Вопросы, рассматриваемые в заседаниях Конституционного Суда Российской Федерации
Конституционный Суд Российской Федерации рассматривает в заседаниях все вопросы, относящиеся к полномочиям Конституционного Суда Российской Федерации, установленным Конституцией Российской Федерации и статьей 3 настоящего Федерального конституционного закона.
Конституционный Суд Российской Федерации в заседаниях также:
1) принимает послания Конституционного Суда Российской Федерации;
2) принимает Регламент Конституционного Суда Российской Федерации и вносит в него изменения и дополнения;
3) принимает решения о представлении судьи Конституционного Суда Российской Федерации к награждению государственной наградой Российской Федерации, в том числе присвоению ему почетного звания Российской Федерации, а также об обращении к Президенту Российской Федерации с ходатайством о даче им согласия на принятие судьей Конституционного Суда Российской Федерации награды или иного знака отличия иностранного государства;
4) принимает решения о приостановлении или прекращении полномочий судьи Конституционного Суда Российской Федерации, а также о наличии оснований для досрочного прекращения Советом Федерации по представлению Президента Российской Федерации полномочий Председателя или заместителей Председателя Конституционного Суда Российской Федерации;
5) осуществляет иные полномочия, предусмотренные настоящим Федеральным конституционным законом.