Как истребовать у частной фирмы копию утраченного договора оказания услуг?

Вы можете истребовать его как доказательство в рамках судебного процесса.

«Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации» от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 19.12.2016) (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2017)
Статья 57. Представление и истребование доказательств
1. Доказательства представляются сторонами и другими лицами, участвующими в деле. Суд вправе предложить им представить дополнительные доказательства. В случае, если представление необходимых доказательств для этих лиц затруднительно, суд по их ходатайству оказывает содействие в собирании и истребовании доказательств.
2. В ходатайстве об истребовании доказательства должно быть обозначено доказательство, а также указано, какие обстоятельства, имеющие значение для правильного рассмотрения и разрешения дела, могут быть подтверждены или опровергнуты этим доказательством, указаны причины, препятствующие получению доказательства, и место нахождения доказательства. Суд выдает стороне запрос для получения доказательства или запрашивает доказательство непосредственно. Лицо, у которого находится истребуемое судом доказательство, направляет его в суд или передает на руки лицу, имеющему соответствующий запрос, для представления в суд.
3. Должностные лица или граждане, не имеющие возможности представить истребуемое доказательство вообще или в установленный судом срок, должны известить об этом суд в течение пяти дней со дня получения запроса с указанием причин. В случае неизвещения суда, а также в случае невыполнения требования суда о представлении доказательства по причинам, признанным судом неуважительными, на виновных должностных лиц или на граждан, не являющихся лицами, участвующими в деле, налагается штраф — на должностных лиц в размере до одной тысячи рублей, на граждан — до пятисот рублей.

Добрвй день, потребовать по закону копию утраченного договора на оказание услуг у частной фирмы, с которой он был заключён, вы можете, конечно, написав им аргументированное заявление на имя руководителя этой фирмы, заявление это следует писать в двух экземплярах, на вашем экземпляре принимающая сторона должна расписаться.и поставить дату его принятия. Но вам следует учесть, что если у вас нет доказательств со рудничества, то они просто могут сказать, что и договора не было у вас

Имеете полное на это право.