Как работнику перевестись в другое подразделение предприятия?

Здравствуйте, Наталия.

Перевод производится по соглашению работника и работодателя. В качестве работодателя в организации может быть только руководитель, если иное лицо не уполномочено им осуществлять полномочия работодателя, например, по доверенности.

Права и обязанности работодателя в трудовых
отношениях осуществляются: физическим лицом, являющимся работодателем; органами
управления юридического лица (организации) или уполномоченными ими лицами,
иными лицами, уполномоченными на это в соответствии с федеральным законом, в
порядке, установленном настоящим Кодексом, другими федеральными законами и
иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, законами и иными
нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, нормативными
правовыми актами органов местного самоуправления, учредительными документами
юридического лица (организации) и локальными нормативными актами.
ст. 20, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ
(ред. от 03.07.2016) {КонсультантПлюс}

Изменение определенных сторонами условий
трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по
соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных
настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий
трудового договора заключается в письменной форме.
ст. 72, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ
(ред. от 03.07.2016) {КонсультантПлюс}

То есть в вашей ситуации не начальники подразделений принимают окончательное решение о возможности перевода, а руководитель организации.

Сроков при переводе по инициативе работника законом не предусмотрено никаких. Сходите на прием к руководителю организации и попробуйте решить вопрос.