Возможно ли увольнение без отработки двух недель, если никаких договоров не заключал?

При увольнении на испытательном сроке вы не обязаны «отрабатывать» две недели. В этом случае предусмотрен сокращенный срок в три дня (ст. 71 Трудового кодекса РФ).

Статья 71 ТК РФ. Результат испытания при приеме на работу

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.
При неудовлетворительном результате испытания расторжение трудового договора производится без учета мнения соответствующего профсоюзного органа и без выплаты выходного пособия.

Если срок испытания истек, а работник продолжает работу, то он считается выдержавшим испытание и последующее расторжение трудового договора допускается только на общих основаниях.

Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Поэтому пишите заявление на увольнение и работодатель обязан будет вас уволить через три дня. Откажется — пишете заявление в трудовую инспекцию и его накажут. 

Удачи!

С одной стороны если не заключали трудовой договор то данное лицо которому выполняли работу не является работодателем  исходя из ч. 1 ст. 16 ТК РФ. Поэтому ТК РФ, в частности отработка установленная ст. 80 ТК РФ не распространяется. Можно сослаться на ч.1 ст. 16 ТК РФ, но могут отказать в выплате.

 С другой стороны трудовые отношения  возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен, ч.3 ст. 16 ТК РФ. 

Если Ваша трудовая книжка находится у работодателя — то фат допущения к работе был, значит факт трудовых отношений имеется. Вы можете написать заявление на увольнение по семейным обстоятельствам (придумайте что-нибудь), поскольку по соглашению между работником и работодателем, последний может расторгнуть договор и до истечения 2-х недель.