Имеет ли право руководитель не подписывать заявление на увольнение?

Здравствуйте, Вера.

Любое обращение (заявление) работника должно быть рассмотрено руководителем организации и по нему должно быть принято решение — удовлетворить требование (просьбу) работника или отказать.

Само по себе формальное подписание / не подписание заявления не может служить основанием для нарушения срока увольнения.

Главное, чтобы работник подал заявление, соблюдая срок предупреждения, и у него было доказательство подачи такого заявления.

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.
ст. 80, «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 01.07.2017) {КонсультантПлюс}

 
Первый вариант: Вам необходимо написать заявление об увольнении по собственному желанию в двух экземплярах и подать один экземпляр в канцелярию секретарю или в отдел кадров, или непосредственно руководителю организации, на втором экземпляре заявления принимающее лицо обязано проставить отметку о получении документа на рассмотрение – с датой, подписью, указанием должности и ФИО. 

Второй вариант: отправить один экземпляр заявления по почте с уведомлением и описью вложения, чтобы в дальнейшем у Вас был документ подтверждающий отправку. Оправлять такое заявление лучше и на юридический адрес, и на фактический адрес организации, из которой Вы планируете уволится (в случае, если адреса не совпадают).  

Можно совместить оба варианта, если есть подозрение в недобросовестности работодателя и потенциальной вероятности спора в дальнейшем. 

В соответствии со статьей 80 Трудового Кодекса РФ Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.