Может ли подросток, окончив 9 классов в школе, не учиться 1 год?

Здравствуйте, Али. 

Если подросток пытался поступить, но не прошел по конкурсу, то в принципе нарушений со стороны родителей нет.

Если же не достигший 18 лет никуда не поступал, то могут привлечь к ответственности по этой статье:

КоАП РФ, Статья 5.35. Неисполнение родителями или иными законными представителями несовершеннолетних обязанностей по содержанию и воспитанию несовершеннолетних

 
1. Неисполнение или ненадлежащее исполнение родителями или иными законными представителями несовершеннолетних обязанностей по содержанию, воспитанию, обучению, защите прав и интересов несовершеннолетних — влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере от ста до пятисот рублей.

Может ли подросток (16 лет) окончив 9 классов в школе, не учиться 1 год нигде, из за того что на специальность которую он выбрал, не было свободных мест

Здравствуйте Али! 

ФЗ РФ Об образовании п.6, статья 66 позволяет Комиссии по согласию родителей и комиссии по делам несовершеннолетних позволяет ребенку достигшему 15-летнего возраста оставить общеобразовательную организацию до получения  полного общего образования. При этом комиссия, родители и администрация района на территории которого Вы проживаете в месячный срок должны принять меры по продолжению освоения несовершеннолетним образовательной программы основного общего образования в иной форме обучения и с его согласия по трудоустройству.

Статья 66. Начальное общее, основное общее и среднее общее образование

5. Начальное общее образование, основное общее образование, среднее общее образование являются обязательными уровнями образования. Обучающиеся, не освоившие основной образовательной программы начального общего и (или) основного общего образования, не допускаются к обучению на следующих уровнях общего образования.Требование обязательности среднего общего образования применительно к конкретному обучающемуся сохраняет силу до достижения им возраста восемнадцати лет, если соответствующее образование не было получено обучающимся ранее.
6.По согласию родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося, комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав и органа местного самоуправления, осуществляющего управление в сфере образования, обучающийся, достигший возраста пятнадцати лет, может оставить общеобразовательную организацию до получения основного общего образования. Комиссия по делам несовершеннолетних и защите их прав совместно с родителями (законными представителями) несовершеннолетнего, оставившего общеобразовательную организацию до получения основного общего образования, и органом местного самоуправления, осуществляющим управление в сфере образования, не позднее чем в месячный срок принимает меры по продолжению освоения несовершеннолетним образовательной программы основного общего образования в иной форме обучения и с его согласия по трудоустройству.

Могут ли родители понести административную ответственность и будут ли службы опеки домогаться до них ?

Если Вы согласуете вопросы указанные в статье 66 ФЗ об образовании, у органов опеки не будет основания для привлечения Вас к ответственности.

Если у Вас остались или будут вопросы, задавайте, с радостью отвечу. Также Вы можете написать мне в чате и заказать персональную консультацию или подготовку документов по Вашим вопросам. 

Удачи Вам!