Здравствуйте Вадим.
Правильно считаете.
Ваш работодатель имеет права по отношению ко своим работникам только те, которые ему даны общими положениями трудового законодательства.
Каких-либо специальных норм, как в отношении к примеру госслужащих или работников правоохранительной, судебной систем, в отношении педагогических работников не имеется.
Статья 22 Трудового кодекса РФ:
Работодатель имеет право:
заключать, изменять и расторгать трудовые договоры с работниками в порядке и на условиях, которые установлены настоящим Кодексом, иными федеральными законами;
вести коллективные переговоры и заключать коллективные договоры;
поощрять работников за добросовестный эффективный труд;
требовать от работников исполнения ими трудовых обязанностей и бережного отношения к имуществу работодателя (в том числе к имуществу третьих лиц, находящемуся у работодателя, если работодатель несет ответственность за сохранность этого имущества) и других работников, соблюдения правил внутреннего трудового распорядка;
привлекать работников к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном настоящим Кодексом, иными федеральными законами;
принимать локальные нормативные акты (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями);
создавать объединения работодателей в целях представительства и защиты своих интересов и вступать в них;
создавать производственный совет (за исключением работодателей — физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) — совещательный орган, образуемый на добровольной основе из числа работников данного работодателя, имеющих, как правило, достижения в труде, для подготовки предложений по совершенствованию производственной деятельности, отдельных производственных процессов, внедрению новой техники и новых технологий, повышению производительности труда и квалификации работников. Полномочия, состав, порядок деятельности производственного совета и его взаимодействия с работодателем устанавливаются локальным нормативным актом. К полномочиям производственного совета не могут относиться вопросы, решение которых в соответствии с федеральными законами отнесено к исключительной компетенции органов управления организации, а также вопросы представительства и защиты социально-трудовых прав и интересов работников, решение которых в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами отнесено к компетенции профессиональных союзов, соответствующих первичных профсоюзных организаций, иных представителей работников. Работодатель обязан информировать производственный совет о результатах рассмотрения предложений, поступивших от производственного совета, и об их реализации;
реализовывать права, предоставленные ему законодательством о специальной оценке условий труда.
Следовательно в отношении социальных сетей, если нет действительно фактов, которые говорят к примеру об аморальном неэтичном поведении, что может быть положено в основу для увольнения работника — педагога, да и то только по результатам проведения соответствующего служебного расследования, в данной ситуации он может лишь попросить работников, а они вправе удовлетворить его просьбу либо нет.
Никуда жаловаться не стоит, т.к. не Вы инициатор этих требований, тем более они насколько я понял заявляются в устном порядке, нужно их попросту игнорировать. Вот если работодатель предпримет в отношении тех работников, которые не откликнутся на его просьбу, на что имеют полное право, какие-либо действий пользуясь своим служебным положением, тогда и нужно будет обратиться либо в трудовую инспекцию либо прокуратуру для проведения в отношении его проверки и привлечения к ответственности.