Может ли директор фитнес-клуба запретить его посещение на основании личной неприязни?

Здравствуйте, это незаконно, в данном случае вы моете написать жалобу в Роспотрбнадзор.Они не имеют права вам отказывать в посещении зала.

ГК РФ Статья 426. Публичный договор

 
1. Публичным договором признается договор, заключенный лицом, осуществляющим предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, и устанавливающий его обязанности по продаже товаров, выполнению работ либо оказанию услуг, которые такое лицо по характеру своей деятельности должно осуществлять в отношении каждого, кто к нему обратится (розничная торговля, перевозка транспортом общего пользования, услуги связи, энергоснабжение, медицинское, гостиничное обслуживание и т.п.).
Лицо, осуществляющее предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, не вправе оказывать предпочтение одному лицу перед другим лицом в отношении заключения публичного договора, за исключением случаев, предусмотренных законом или иными правовыми актами.
(п. 1 в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 42-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. В публичном договоре цена товаров, работ или услуг должна быть одинаковой для потребителей соответствующей категории. Иные условия публичного договора не могут устанавливаться исходя из преимуществ отдельных потребителей или оказания им предпочтения, за исключением случаев, если законом или иными правовыми актами допускается предоставление льгот отдельным категориям потребителей.
(п. 2 в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 42-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Отказ лица, осуществляющего предпринимательскую или иную приносящую доход деятельность, от заключения публичного договора при наличии возможности предоставить потребителю соответствующие товары, услуги, выполнить для него соответствующие работы не допускается.
(в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 42-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)