Повлияет ли на судебное решение отсутствие подписи заявителя в претензии к магазину?

Отсутствие подписи на претензии равносильно не подаче претензии. На решение суда это обстоятельство может повлиять частично, поскольку нельзя будет взыскать неустойку и штраф. Согласно

Закон РФ от 07.02.1992 N 2300-1 (ред. от 01.05.2017) «О защите прав потребителей»Статья 17. Судебная защита прав потребителей

 
КонсультантПлюс: примечание.
О рассмотрении судами гражданских дел по спорам о защите прав потребителей см. Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 28 июня 2012 г. N 17.

1. Защита прав потребителей осуществляется судом.
2. Иски о защите прав потребителей могут быть предъявлены по выбору истца в суд по месту:
нахождения организации, а если ответчиком является индивидуальный предприниматель, — его жительства;
жительства или пребывания истца;
заключения или исполнения договора.
Если иск к организации вытекает из деятельности ее филиала или представительства, он может быть предъявлен в суд по месту нахождения ее филиала или представительства.

Да, подпись является обязательной в претензии. Вам нужно повторно подать претензию уже с подписью.