На что опираться в суде при выписке из квартиры?

Добрый день, Андрей.
Если Вы уже прописали там ребенка, то Вам следует привлечь органы опеки и попечительства для защиты прав и законных интересов ребенка, которые в свою очередь должны будут провести акт обследования квартиры и предоставить на суд заключение, и в случае установления нарушения прав ребенка (а его выселение или выселение в никуда его родителя конечно же будет ущемлять его права) обязательно заявит о своем несогласии с выселением.
Если данное жилье является единственным для Вас место для проживания (отсутствуют иные жилые помещения, принадлежащие Вам на праве собственности или предоставленные Вам для проживания по договору социального найма), то Вам следует заявить об этом и опираться на ст. 40 Конституции РФ, согласно которой никто не может быть произвольно лишен жилища.

Статья 40
1. Каждый имеет право на жилище. Никто не может быть произвольно лишен жилища.
2. Органы государственной власти и органы местного самоуправления поощряют жилищное строительство, создают условия для осуществления права на жилище. 

Также нужно понимать на чем основывает свои требования о Вашем выселении (снятии Вас с регистрационного учета) супруга Вашего брата. Если она хочет признать Вас утратившим право пользования данным жильем в связи с тем, что Вы проживаете в другом, то нужно понимать имеется ли у Вас иное жилье и какие у Вас права, на жилье в котором Вы временно проживали. В таком случае нужно ссылаться на ст. 71 Жилищного кодекса РФ, согласно которое временное отсутствие нанимателя или членов его семьи, проживающих с ним (в данной случае Вашего ребенка) не влечет за собой изменение их прав и обязанностей по договору социального найма (то есть временное отсутствие не основание для выселения).
 

Статья 71. Права и обязанности временно отсутствующих нанимателя жилого помещения по договору социального найма и членов его семьи
Временное отсутствие нанимателя жилого помещения по договору социального найма, кого-либо из проживающих совместно с ним членов его семьи или всех этих граждан не влечет за собой изменение их прав и обязанностей по договору социального найма

 В случае, если она пытается Вас выселить в связи с образовавшейся задолженностью по оплате ЖКУ, то она в данном случае не является заинтересованным лицом и не может требовать выселения в суде по данному основанию, а для перестраховки Вам следует вносить хоть какие-то платежи по оплате жилищно-коммунальных услуг (наниматель обязан оплачивать ЖКУ даже если временно не проживает в квартире) и можно обратиться в УК и заключить соглашение о погашении образовавшейся задолженности.