Может ли фирма при увольнении и смене названия не принять работника обратно?

В описываемом Вами случае возможно имеет место не изменение названия, а регистрация новой фирмы. В таком случае никами обязательствами новая организация с Вами не связана, в связи с чем, имеют полное право отказать в трудоустройстве.  

просто потому что какая то непонятная неприязнь ко мне со стороны управляющей? Я мать одиночка воспитывающая несовершеннолетнего ребенка 4 годика.

Это не имеет значения для трудоустройства в новую организацию. Если Вы переживаете, что Вам не дадут новой работы, соответственно не соглашайтесь на увольнение по собственному желанию из действующей организации, и требуйте увольнения по сокращению штатов. 

ТК РФ Статья 180. Гарантии и компенсации работникам при ликвидации организации, сокращении численности или штата работников организации

—  
— При проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность) в соответствии с частью третьей статьи 81 настоящего Кодекса.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении.
(часть третья в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
При угрозе массовых увольнений работодатель с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации принимает необходимые меры, предусмотренные настоящим Кодексом, иными федеральными законами, коллективным договором, соглашением.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Добрый день! Если фирма будет менять только название, то никого увольнять не будут, кроме того, если у Вас статус матери одиночки, то в соответствии со ст.261 ТК РФ, Вас не могут уволить по инициативе работодателя до 14 летнего возраста ребенка, кроме случае указанных в статье.

Статья 261 ТК РФ

Расторжение трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет или малолетнего ребенка — ребенка в возрасте до четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье, воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 — 8, 10 или 11 части первой статьи 81 или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).

Если Все же оформление происходит через ликвидация организации — то Вам должны выплатить пособие, при этом зачислять в штат новой организации не обязаны.
Статья 178 ТК РФ

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (пункт 1 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

Всего Вам наилучшего!