Работодатель передал в ПФР нулевые отчисления и нулевой стаж

Так получилось потому что вы при стажировке дали работодателю свой снилс то есть были официально трудоустроены

Добрый день Влад

В соответствии со статьей 59 Трудового кодекса РФ, для выполнения работ, непосредственно связанных со стажировкой и с профессиональным обучением, допускается заключение с работником срочного трудового договора. Договор заключается на определенный срок с именно таким обоснованием срочности: «выполнение работ, непосредственно связанных со стажировкой и с профессиональным обучением работника». При этом период действия трудового договора определяется исходя из конкретных сроков, указанных, например, в программе стажировки. Когда стажировка заканчивается, трудовой договор с работником прекращается по основанию, предусмотренному пунктом 2 статьи 77 Трудового кодекса РФ — истечение срока трудового договора.

«Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 05.02.2018)

Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора

паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;
(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 216-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям, выданную в порядке и по форме, которые устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере внутренних дел, — при поступлении на работу, связанную с деятельностью, к осуществлению которой в соответствии с настоящим Кодексом, иным федеральным законом не допускаются лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию;

Если бы у Вас не было СНИЛС то Вас бы не взяли, либо организация в случае если бы Вы СНИЛС вообще не получали сделала бы его Вам сама.

Стажировка оформляется трудовым договором обязательно.

Страхователь обязан передавать сведения о застрахованных лицах, необходимые для индивидуального (персонифицированного) учета, в территориальный орган ПФР в установленные законом сроки по утвержденным формам. Это форма СЗВ-М.

Федеральный закон от 01.04.1996 N 27-ФЗ «Об индивидуальном (персонифицированном) учете в системе обязательного пенсионного страхования»

Компенсационная выплата выплачивается неработающим трудоспособным лицам, осуществляющим уход за нетрудоспособными гражданами. Указ Президента Российской Федерации от 26.12.2006 г. № 1455 «О компенсационных выплатах лицам, осуществляющим уход за нетрудоспособными гражданами». 

Таким образом прекращение выплаты законны.

Как взыскать с организации ту «переплату» и что можно ещё взыскать с этой организации или какие штрафы они могут за это получить ?

Влад

Ни как Влад, все делалось в рамках Закона.

В идеале, после устройства на стажировку Вам нужно было прийти в ПФР и написать заявление о прекращении ухода за нетрудоспособным гражданином, по причине трудоустройства.

Вспомните (думаю что Вы не помните) когда Вы оформлялись по уходу за нетрудоспособным вы подписали заявление, а в заявлении есть пункт о том что Вы обязуетесь сообщить ПФР в случае трудоустройства, либо это могло быть отдельное обязательство. 

Вы этого не сделали. ПФР узнал о Вашем трудоустройстве, теперь требует возврат выплаченных денежных средств.