Законно ли проживание без прописки в данном случае?

Здравствуйте!

Вообще нельзя, но и оштрафовать вас за это не могут.

Закон о свободе передвижения требует регистрироваться по месту пребывания (грубо говоря, «временная регистрация») или по месту жительства (грубо говоря, «прописка»). Исключений для тех, кто живёт с родителями, там нет.

Кодекс об административных правонарушениях устанавливает два штрафа (статьи 19.15.1 и 19.15.2) для тех, у кого нет регистрации, однако содержит несколько исключений. Одно из них для тех, кто живёт с родителями.

Граждане Российской Федерации освобождаются от административной ответственности за административное правонарушение, предусмотренное настоящей статьей, в случае:
если они являются супругами, детьми (в том числе усыновленными), супругами детей, родителями (в том числе приемными), супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками нанимателя (собственника) жилого помещения, имеющего регистрацию по месту жительства в данном жилом помещении;
если проживающие совместно с нанимателем или собственником жилого помещения лица являются по отношению к нему супругами, детьми (в том числе усыновленными), супругами детей, родителями (в том числе приемными), супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками.
(Примечание к статье 19.15.1.)
Граждане Российской Федерации освобождаются от
административной ответственности за нарушение правил регистрации
гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту
жительства в жилом помещении в случае представления документированной
информации о том, что они являются супругами, детьми (в том числе
усыновленными), супругами детей, родителями (в том числе приемными),
супругами родителей, бабушками, дедушками, внуками нанимателей
(собственников) жилого помещения, имеющих регистрацию по месту
жительства в данном жилом помещении.
(Примечание к статье 19.15.2.)

То есть вас не оштрафуют.

С другой стороны, ваши родители все равно должны отправить в МВД уведомление о том, что вы живёте в их квартире без регистрации. Если не отправят — их могут оштрафовать (части 3 и 4 статьи 19.15.2 Кодекса об административных правонарушениях). Уведомление можно принести лично, отправить почтой или через Госуслуги. Правда, делать это нужно в течение 10 дней после того, как вы к ним приехали. Если 10 дней уже прошли, то, может быть, лучше ничего не делать, поскольку уже через 2 с половиной месяца после вашего приезда родителей тоже нельзя будет оштрафовать.

Если все ваши перемещения происходят в пределах одного субъекта Российской Федерации (например, Смоленской области или Москвы+области), то оштрафовать не могут никого: ни вас, ни родителей. Об этом говорится в примечаниях к статьям 19.15.1 и 19.15.2 Кодекса об административных правонарушениях.