Как доказать, что я написала заявление о расторжении договора?

Здравствуйте, Екатерина.
Вам необходимо ознакомиться с Гражданским процессуальным кодексом.

Статья 55. Доказательства

1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела.Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио- и видеозаписей, заключений экспертов.
Объяснения сторон и третьих лиц, показания свидетелей могут быть получены путем использования систем видеоконференц-связи в порядке, установленном статьей 155.1 настоящего Кодекса.
2. Доказательства, полученные с нарушением закона, не имеют юридической силы и не могут быть положены в основу решения суда.
Статья 59. Относимость доказательств
Суд принимает только те доказательства, которые имеют значение для рассмотрения и разрешения дела.
Статья 60. Допустимость доказательств
Обстоятельства дела, которые в соответствии с законом должны быть подтверждены определенными средствами доказывания, не могут подтверждаться никакими другими доказательствами.

В Вашем случае конечно лучше всего иметь копию Вашего заявления, почтового конверта или любой другой документ. В крайнем случае показания свидетелей, но, в данном споре, так себе доказательство, рискуете зря потратить время и деньги.