Можно ли уволить на больничном работника?

Он может быть продлен до конца беременности, но работодатель вправе его прекратить при том, что вы заменяете отсутствующего работника — но он обязан предложить Вам другую работу, если она конечно у него есть. 

ТК РФ Статья 261. Гарантии беременной женщине и лицам с семейными обязанностями при расторжении трудового договора

В случае истечения срочного трудового договора в период беременности женщины работодатель обязан по ее письменному заявлению и при предоставлении медицинской справки, подтверждающей состояние беременности, продлить срок действия трудового договора до окончания беременности, а при предоставлении ей в установленном порядке отпуска по беременности и родам — до окончания такого отпуска. Женщина, срок действия трудового договора с которой был продлен до окончания беременности, обязана по запросу работодателя, но не чаще чем один раз в три месяца, предоставлять медицинскую справку, подтверждающую состояние беременности. Если при этом женщина фактически продолжает работать после окончания беременности, то работодатель имеет право расторгнуть трудовой договор с ней в связи с истечением срока его действия в течение недели со дня, когда работодатель узнал или должен был узнать о факте окончания беременности.

Допускается увольнение женщины в связи с истечением срока трудового договора в период ее беременности, если трудовой договор был заключен на время исполнения обязанностей отсутствующего работника и невозможно с письменного согласия женщины перевести ее до окончания беременности на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации женщины, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую женщина может выполнять с учетом ее состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать ей все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
Расторжение трудового договора с женщиной, имеющей ребенка в возрасте до трех лет, с одинокой матерью, воспитывающей ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет или малолетнего ребенка — ребенка в возрасте до четырнадцати лет, с другим лицом, воспитывающим указанных детей без матери, с родителем (иным законным представителем ребенка), являющимся единственным кормильцем ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет либо единственным кормильцем ребенка в возрасте до трех лет в семье, воспитывающей трех и более малолетних детей, если другой родитель (иной законный представитель ребенка) не состоит в трудовых отношениях, по инициативе работодателя не допускается (за исключением увольнения по основаниям, предусмотренным пунктами 1, 5 - 8, 10 или 11 части первой статьи 81или пунктом 2 статьи 336 настоящего Кодекса).

Здравствуйте, В случае наступления беременности сотрудницы, принятой по срочному трудовому соглашению, увольнение ее можно произвести только после ее окончания беременности по причинам, не связанным с рождением малыша, или после появления ребенка на свет и завершения декретного отпуска. В связи с этим  уволить Вас должны с 21 января.

Из вопроса не понятно, был ли предоставлен отпуск по беременности и родам и было ли заявление о продлении срока действия договора.
Расторжение трудового договора по инициативе работодателя с беременной женщиной не допускается, за исключением случаев ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем.
В случае истечения срочного трудового договора в период беременности женщины работодатель обязан по ее письменному заявлению и при предоставлении медицинской справки, подтверждающей состояние беременности, продлить срок действия трудового договора до окончания беременности, а при предоставлении ей в установленном порядке отпуска по беременности и родам — до окончания такого отпуска.
Согласно ст. 84.1 ТК РФ днем прекращения трудового договора во всех случаях является последний день работы работника (за некоторыми исключениями). Таким днем будет день, предшествующий дате выхода на работу основного работника, т.е. 5 ноября.
Поскольку срочный трудовой договор продлевается до окончания беременности женщины независимо от причины окончания беременности (рождение ребенка, самопроизвольный выкидыш, аборт по медицинским показаниям и др.), а в случае рождения ребенка увольнение женщины в связи с окончанием срочного трудового договора производится в день окончания отпуска по беременности и родам. В иных случаях женщина может быть уволена в течение недели со дня, когда работодатель узнал или должен был узнать о факте окончания беременности.