Может ли директор быть надомным работником?

Если Вы сами учредитель и директор, то Вам нет смысла создавать себе дополнительные сложности в виде договора с надомником. Вы и так можете работать дома. Здесь только Вы контролируете сами себя. Вы сами себе работодатель. Никто, кроме Вас, не будет Вас контролировать, работаете Вы в офисе или нет. Вы сами себя назначаете на должность директора (возлагаете на себя обязанности директора). Единственное, Приказ о назначении Вас директором должен обновляться с периодичностью, предусмотренной Уставом Вашего предприятия.

Создавать себе новое рабочее место (как директора) дома тоже нет смысла, потому что тогда Вам придется дополнительно открывать обособленное подразделение. В любом случае, ситуация, где один человек и, по сути,  два рабочих места, будет создавать сложности при формировании отчетности (это больше технические проблемы, но все равно неприятно). Как правило, ФНС в таких случаях рассылает запросы (разъяснить, почему зарплата выдана только по одному зарегистрированному адресу и т.д.).

Самое главное, чтобы Вы вовремя получали письма из контролирующих органов (ФНС, ПФР и др.) и вовремя перечисляли налоги. Тогда никаких вопросов к Вам не возникнет.