Могу ли официально устроиться на другую работу при отпуске за свой счет?

Можете.

При этом при трудоустройстве у нового работодателя необходимо учитывать, что работа у него будет являться совместительством, а не основным местом работы вплоть до выхода на работу к основному работодателю. Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать четырех часов в день. Однако в дни, когда по основному месту работы работник свободен от исполнения трудовых обязанностей, он может работать по совместительству полный рабочий день (смену). При этом в течение одного месяца (другого учетного периода) продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать половины месячной нормы рабочего времени (нормы рабочего времени за другой учетный период), установленной для соответствующей категории работников (ст. 284 ТК РФ).