Как мне выписаться из дома, если я сейчас живу в другом городе?

Здравствуйте, Анна! Поскольку Вы являетесь совершеннолетней, Вы вправе выписаться с прежнего места жительства даже из другого города. Обратитесь в МФЦ по месту пребывания с соответствующим заявлением или в паспортно-визовую службу (паспортный стол).

Поскольку Вы совершеннолетняя, мать лишить родительских прав нельзя, т.к. нет несовершеннолетних детей и скажем так, обязанности по воспитанию до совершеннолетия ребенка она выполнила.

СК РФ:

Статья 70. Порядок лишения родительских прав
 
1. Лишение родительских прав производится в судебном порядке.
Дела о лишении родительских прав рассматриваются по заявлению одного из родителей или лиц, их заменяющих, заявлению прокурора, а также по заявлениям органов или организаций, на которые возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (органов опеки и попечительства, комиссий по делам несовершеннолетних, организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и других).