Можно ли добиться увольнения без отработки, если я воспитываю 4-летнего ребенка?

Здравствуйте Александра! Согласно статье  80 Трудового кодекса РФ  

работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

В вашем случае законодательство не содержит каких-либо ограничений, соответственно уволиться ранее двух недель вы не сможете. Вместе с тем, 

согласно разъяснений письма Роструда от 05.09.2006 N 1551-6: работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме за две недели.

Предупредить работодателя об увольнении работник может не только в период работы, но и в период нахождения в отпуске и в период временной нетрудоспособности. При этом дата предполагаемого увольнения может приходиться также на указанные периоды.