Обязательна ли отработка при увольнении в данном случае?

Здравствуйте Ксения! Работодатель обязан был Вам выдать второй экземпляр трудового договора. Невыдача трудового договора это нарушение со стороны работодателя. 

Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

По факту Вы состоите в трудовых отношениях с Вашим работодателем, поскольку приступили к работе. Если будете увольняться Вы должны об этом предупредить своего работодателя за две недели. Этот срок даётся для того, чтобы работодатель нашёл Вам замену, а значит в это время Вам придется работать. Однако трудовой договор можно расторгнуть и раньше срока. 

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

График и нагрузку работодатель может увеличить только с Вашего письменного согласия. Изменение графика и нагрузки без Вашего согласия будет незаконным. Прежде чем уволиться Вам следует получить трудовой договор сначала на руки. Попробуйте обратиться к Вашему работодателю, желательно конечно это делать официально через заявление в двух экземплярах один из которых остается Вам с пометкой, что они его получили. В соответствии с действующим законодательством Вам обязаны выдать Ваши документы в течении трех рабочих дней со дня подачи заявления. Полагаю, что трудовой договор Вам просто забыли отдать из-за перегруженности отдела кадров или работодатель намеренно не отдает. 

Хотел уточнить, Вы когда устраивались совместителем Вам также трудового договора не дали на руки? Если Вас оформляли как на основную работу, то с Вами должны были заключить дополнительное соглашение либо сделать эту процедуру через увольнение и перезаключить новый трудовой договор на основную работу. Таким образом у Вас должен быть либо старый трудовой договор по совместительству с дополнительным соглашением к нему или два трудовых договора.