Есть ли правовые основания для проникновения на территорию стройки для поисков домашнего питомца?

Здравствуйте Кирилл. 

Если территория частная, такими основаниями могут являться лишь согласие собственника, если вести речь о законных основаниях, так как именно собственнику принадлежат все прав в отношении его имущества согласно действующему законодательству.

Статья 209 Гражданского кодекса рФ:

1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.

2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам