Нужно ли отрабатывать 14 дней в моем случае?

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено нарушением работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника (ст.80 ТК РФ)
В Вашем случае в заявлении необходимо указать, что работодатель не выплачивает зарплату, без оформления трудового договора в письменной форме. Для этого нужно иметь доказательства.
Но Вы как работник обязаны выходить на работу пока увольнение не будет оформлено в установленном порядке. В противном случае у Вас будут прогулы. Направление заявления по почте не будет являться надлежащим увольнением. ВЫ должны вручить заявление об увольнении работодателю (уполномоченному лицу) лично под роспись. Если он не желает его получать, то составить акт при свидетелях об отказе в приеме заявления и затем направить его почтой. Но в любом случае Вы должны находиться на рабочем месте до приказа либо до истечения 14 дней с момента предупреждения.
В случае нарушения работодателем Ваших прав, то тогда можете обратиться в инспекцию труда и (или) в суд.