Подскажите пожалуйста, что можно сделать, чтобы остаться в своей школе?

Кроме того, к ранее сказанному в соответствии со ст. 61 ФЗ «ОБ образовании:

Образовательные отношения прекращаются в связи с отчислением обучающегося из организации, осуществляющей образовательную деятельность:

1) в связи с получением образования (завершением обучения);

2) досрочно по основаниям, установленным частью 2 настоящей статьи.2. Образовательные отношения могут быть прекращены досрочно в следующих случаях:

1) по инициативе обучающегося или родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося, в том числе в случае перевода обучающегося для продолжения освоения образовательной программы в другую организацию, осуществляющую образовательную деятельность;

2) по инициативе организации, осуществляющей образовательную деятельность, в случае применения к обучающемуся, достигшему возраста пятнадцати лет, отчисления как меры дисциплинарного взыскания, в случае невыполнения обучающимся по профессиональной образовательной программе обязанностей по добросовестному освоению такой образовательной программы и выполнению учебного плана, а также в случае установления нарушения порядка приема в образовательную организацию, повлекшего по вине обучающегося его незаконное зачисление в образовательную организацию;

3) по обстоятельствам, не зависящим от воли обучающегося или родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося и организации, осуществляющей образовательную деятельность, в том числе в случае ликвидации организации, осуществляющей образовательную деятельность.http://www.consultant.ru/docum...

После 9 класса завершением обучения по образовательной программе основного общего образования не производится, так как согласно статье 66 ФЗ „Об образовании:

 начальное общее образование, основное общее образование, среднее общее образование являются обязательными уровнями образования. Обучающиеся, не освоившие основной образовательной программы начального общего и (или) основного общего образования, не допускаются к обучению на следующих уровнях общего образования. Требование обязательности среднего общего образования применительно к конкретному обучающемуся сохраняет силу до достижения им возраста восемнадцати лет, если соответствующее образование не было получено обучающимся ранее

. В связи с чем оснований для отчисления в вашем случае не имеются.

Согласно  (http://gymn19.ru/education/)

Положению о приеме в 10-е профильные классы МАОУ «Гимназия №19» Приволжского района г.Казани

1.3. Положение регламентирует зачисление в 10-е профильные классы (далее – профильные классы).
2. Порядок приема учащихся в профильные классы

2.3. Наполняемость профильных классов устанавливается в количестве 25 — 30 человек.
2.4. В профильные классы гимназии принимаются обучающиеся, успешно сдавшие экзамены по обязательным предметам и предметам по выбору. 

При этом, результаты ГИА по математике, русскому и английскому языкам учитываются на всех профилях. Отметка по обязательным учебным предметам (по русскому языку и математике) и английскому языку должна быть не менее «5», с показателем по ГИА, нижняя граница которого:

по математике – не менее 28 баллов (из них не менее 12 по алгебре, и не менее 9 по геометрии);

по русскому языку – не менее 35 балла для социально-гуманитарного и естественнонаучного направлений;

По английскому языку –не менее 65 баллов.

Показатель ОГЭ для профильных предметов должен быть не менее определенного значения (Приложение 1).

Также порядок регулируется отдельным Положением о приеме в 10-е профильные классы МАОУ «Гимназия №19» Приволжского района г.Казани.

Из чего следует, что необходимо отвечать требованиям указанных положений принятых на уровне общеобразовательного учреждения, для приема в последующий 10-й класс, при отсутствии таковых, отказ будет являться правомерным, а также следует учитывать требования о наполняемости установленные положениями.

Во вложении к  ответу полные редакции.

ОГЭ сдал математику на 5, русский на 5, физика 4, английский 4.

Согласно  

Положению о приеме в 10-е профильные классы МАОУ «Гимназия №19» Приволжского района г.Казани

Отметка по обязательным учебным предметам (по русскому языку и математике) и английскому языку должна быть не менее «5»

Показатель ОГЭ для профильных предметов должен быть не менее определенного значения (Приложение 1).

Приложение 1.
Минимальный показатель ОГЭ по профильным предметам для зачисления в 10-е профильные классы гимназии.3

физика
33
Естественнонаучный

Т.е. у Вас проблема скорее возникла с отметкой по английскому языку, согласно положению она должна быть не менее на «5», а у Вас «4», также по физике минимальное количество баллов установлено 33, т.е. исходя не из оценки, а баллов.

Если это так, то действительно отказ в приеме правомерный, как видно это предусмотрено положениями Гимназии, а общеобразовательные учреждения вправе принимать свои порядки приема, в первом ответе я привел федеральное законодательство об этом.