Можно ли написать доверенность на мать?

Здравствуйте Елена.

Порядок предоставления государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, регулируется Приказом МВД РФ
от 31.12.2017 N 984 

«Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»:

Исчерпывающий перечень документов, необходимых в соответствии с нормативными правовыми актами для предоставления государственной услуги и услуг, которые являются необходимыми и обязательными для предоставления государственной услуги, подлежащих представлению заявителем, способы их получения заявителем, в том числе в электронной форме, порядок их представления
50. При регистрации по месту жительства несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста одновременно с заявлением о регистрации по месту жительства законный представитель представляет следующие документы www.consultant.ru/docum...

В силу

СК РФ Статья 64. Права и обязанности родителей по защите прав и интересов детей
 

Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий.

Т.е. заявление в рамках приведенных положений административного регламента, подает сам лично гражданин регистрирующийся по месту жительства, либо законный представитель — родитель ребенка.

Это также следует и из разъяснений органов МВД РФ по официальной ссылке:

Не могу прибыть лично для постановки на регистрационный учет по месту жительства/ пребывания. Может ли доверенное лицо зарегистрировать меня по доверенности?
https://77.xn--b1aew.xn--p1ai/...

Дополнительно также по ссылке:https://04.xn--b1aew.xn--p1ai/...

Но как вариант подача заявления и документов  в электронной форме через портал госуслуг (пример по ссылке:https://www.gosuslugi.ru/10050..., ), хотя все же для получения свидетельства о регистрации по месту жительства для лиц, не достигших 14-летнего возраста явиться  придется.

Порядок предоставления государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, регулируется Приказом МВД РФ
от 31.12.2017 N 984 

«Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»:

118. Должностное лицо органа регистрационного учета в срок не позднее рабочего дня, следующего за днем принятия решения:

118.2. При регистрации гражданина по месту жительства:

118.2.1.… распечатывает свидетельство о регистрации по месту жительства (для лиц, не достигших 14-летнего возраста), которому присваивает учетный номер, соответствующий номеру заявления о регистрации по месту жительства.

Приложение N 2. Форма N 8. Свидетельство о регистрации по месту жительства
http://docs.cntd.ru/document/5...