Как мне правильно трудоустроиться на новое место работы?

Здравствуйте. 

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.(ст. 80 Трудового кодекса РФ).

Вы можете подать заявление об увольнении, находясь в отпуске. принести лично, направить почтой, телеграммой.