Как быть, если мне отказали в проведении ремонта?

Здравствуйте. Писать претензию и указать ст. 18 ФЗ «О ЗПП»

5. Отсутствие у потребителя кассового или товарного чека либо иного документа, удостоверяющих факт и условия покупки товара, не является основанием для отказа в удовлетворении его требований.

Вы вправе обратиться с письменной претензией и требовать ремонта согласно ст. 18 ФЗ опять же. 

В отношении технически сложного товара потребитель в случае обнаружения в нем недостатков вправе отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за такой товар суммы либо предъявить требование о его замене на товар этой же марки (модели, артикула) или на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены в течение пятнадцати дней со дня передачи потребителю такого товара. По истечении этого срока указанные требования подлежат удовлетворению в одном из следующих случаев:
обнаружение существенного недостатка товара;
нарушение установленных настоящим Законом сроков устранения недостатков товара;
невозможность использования товара в течение каждого года гарантийного срока в совокупности более чем тридцать дней вследствие неоднократного устранения его различных недостатков.

Пусть проводят экспертизу, устанавливают существенный недостаток или нет. При отклонении Вашей претензии Вы можете обратиться в Роспотребнадзор, суд.