Могут ли меня уволить

Как я понимаю, приказ о приеме на работу тоже не составлялся? Таким образом, официально в этой организации вы не трудоустроены, а следовательно, трудовых правоотношений у вас с работодателем не возникло. 

Статья 67 ТК РФ.

Таким образом, коллега не совсем права. Поэтому трудовые отношения у Вас возникли с момента как Вы приступили к работе. Другое дело, как Вы это будете доказывать в случае спора.

На случай незаконных действий со стороны работодателя запаситесь доказательствами. Лучше  документальными. Возможно Вы  составляли какие-то документы по работе или в каких-то документах у работодателя осталась Ваша подпись.

По всем спорным вопросам Вы можете обратиться в инспекцию по труду, но Вам следует учесть, что в случае конфликта с работодателем продолжать работать также может быть не очень комфортно. Но если увольнения будет не избежать, то обращение в официальные инстанции поможет добиться дополнительных компенсаций в случае незаконного увольнения.

Более точно можно ответить зная все обстоятельства дела.

Если у Вас остались вопросы можете писать мне в чат.

Удачи!