Как оформить совместителя в бюджетное учреждение?

Здравствуйте!  Да, по совместительству допустимо в свободное время от основной работы, в соответствии со статьей 282 ТК РФ

Совместительство — выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.
Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.
Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

В трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством.
Не допускается работа по совместительству лиц в возрасте до восемнадцати лет, на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, если основная работа связана с такими же условиями, а также в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.
(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 28.12.2013 N 421-ФЗ, от 02.04.2014 N 55-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Особенности регулирования работы по совместительству для отдельных категорий работников (педагогических, медицинских и фармацевтических работников, работников культуры) помимо особенностей, установленных настоящим Кодексом и иными федеральными законами, могут устанавливаться в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.
(часть шестая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Но может рассмотреть вариант совмещения в соответствии со статьей 60.2 ТК РФ.