Может ли директор поставить 2 недели отработки?

Здравствуйте. Скорее всего да работодатель скажет Вам отработать 2 недели. В силу ст. 80 ТК РФ указанный Вами случай не относится к числу оснований для не отработки

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Если только не доказать, что родственник не нуждается в срочном уходе прямо здесь и сейчас.

Здравствуйте, Ольга!

В соответствии со ст. 80 ТК РФ:

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

При этом ТК РФ не содержит каких-либо ограничений на использование в этот период права на отпуск или уход на больничный. Поэтому в вашей ситуации проще всего попытаться договориться с работодателем об отпуске или об увольнении без отработки.

Кроме того, ТК РФ говорит, что 

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Однако в данном случае существует риск, что работодатель не согласиться считать болезнь родственника обстоятельством, обуславливающим невозможность продолжения работы, в таком случае вопрос придется решать в судебном порядке, что займет гораздо больше времени, чем 2 недели.

Ольга, здравствуйте! Трудовой кодекс в статье 80 предоставляет двухнедельный срок для отработки перед увольнением, чтобы работодатель смог найти замену необходимому ему в работе специалисту. Та же статья предлагает упразднить двухнедельную отработку по соглашению сторон.

В вопросе Вы не указали, какой родственник нуждается в уходе. Поэтому поясняю, что при уходе за близким взрослым родственником возможно оформить больничный лист. Об этом гласит часть 1 статьи 5 Федерального закона от 29.12.2006 № 255-ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством». Перечень близких родственников указан в статье 14 Семейного кодекса РФ.