Должно ли в этом случае Общее Собрание назначать аудиторскую проверку, выбирать аудитора и утверждать размер его оплаты?

Да, нужно

Федеральный закон от 08.02.1998 N 14-ФЗ (ред. от 04.11.2019, с изм. от 07.04.2020) «Об обществах с ограниченной ответственностью»
Статья 48. Аудиторская проверка общества
Для проверки и подтверждения правильности годовых отчетов и бухгалтерских балансов общества, а также для проверки состояния текущих дел общества оно вправе по решению общего собрания участников общества привлекать профессионального аудитора, не связанного имущественными интересами с обществом, членами совета директоров (наблюдательного совета) общества, лицом, осуществляющим функции единоличного исполнительного органа общества, членами коллегиального исполнительного органа общества и участниками общества.

Федеральный закон от 08.02.1998 N 14-ФЗ (ред. от 04.11.2019, с изм. от 07.04.2020) «Об обществах с ограниченной ответственностью»
Статья 33. Компетенция общего собрания участников общества
2. К компетенции общего собрания участников общества относятся:
10) назначение аудиторской проверки, утверждение аудитора и определение размера оплаты его услуг;

По  смыслу, приведенных ниже норм, а также пп. 10 п. 2 ст. 33 Федерального закона от 08.02.1998 N 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью» (аудит является обязательным) необходимо, его проведение. Поэтому участники Общества (Совет директором) по инициативе генерального директора должны принять решение об утверждении кандидатур аудитора, но не о проведении  самого аудита, как процесса.