Могу ли я временно отказаться от вознаграждения по опекунству и встать на биржу труда?

Да опекунство вещь добровольная. 

В соответствии со ст. 16 Федерального закона от 24.04.2008 №48-ФЗ «Об опеке и попечительстве» опека исполняется, как правило, безвозмездно.  Тем не менее, орган опеки и попечительства, исходя из интересов подопечного, вправе заключить с опекуном или попечителем договор об осуществлении опеки или попечительства на возмездных условиях.  Вознаграждение опекуну или попечителю может выплачиваться за счет доходов от имущества подопечного, средств третьих лиц, а также средств бюджета субъекта Российской Федерации.  

Статья 2 Закона РФ от 19.04.1991 г. №1032-1 «О занятости населения в РФ» определяет понятие «занятые граждане». Согласно указанной статье, к занятым гражданам относят лиц, получающих доход по возмездным договорам.

Соответственно, если Вы получаете доход по возмездному договору как опеку, то Вы признаетесь занятым гражданином.

Если опека Вами осуществляется безвозмездно, в этом случае, ограничений по постановке на учет в качестве безработного гражданина нет. 

Относительно того, что вы не получаете доход от опеки, соответствующую информацию вы можете получить в органах опеки и попечительства по месту жительства.

Постановка на учет как безработного гражданина осуществляется дистанционно (на период действия режима повышенной готовности), через портал госуслу (личный кабинет гражданина). Справка с последнего места работы с указанием заработка за 3 последних месяца является необходимым условием (вне зависимости от срока отсутствия официальной работы, предшествующей дате обращения гражданина в службу занятости).

Статья 29. Основания прекращения опеки и попечительства
 

1. Опека или попечительство прекращается:
1) в случае смерти опекуна или попечителя либо подопечного;
2) по истечении срока действия акта о назначении опекуна или попечителя;
3) при освобождении либо отстранении опекуна или попечителя от исполнения своих обязанностей;
4) в случаях, предусмотренных статьей 40 Гражданского кодекса Российской Федерации.
2. Опека над детьми несовершеннолетних родителей прекращается по основаниям, предусмотренным частью 1 настоящей статьи, а также по достижении такими родителями возраста восемнадцати лет и в других случаях приобретения ими гражданской дееспособности в полном объеме до достижения совершеннолетия.
3. Опекун, попечитель могут быть освобождены от исполнения своих обязанностей по их просьбе.