Должен ли я отдать ему половину и каким вообще законом это регулируется?

Здравствуйте, Александр.

1. Вы указываете:

Моя бабушка умерла пол года назад. Я наследник второй очереди и её сын первой очереди.

Отсюда заключаем, что у умершей два наследника -Вы, являясь внуком, и ее сын (по всей видимости, Ваш дядя).

В силу ст.ст.1141, 1142, 1146 Вы оба являетесь наследниками первой очереди, только Вы имеете право наследовать по праву представления, но тем не менее это первая очередь наследования, а не вторая.

2.

хотя я никаких бумаг не подписывал.

Александр

Если Вы хоть и не подписывали и не подавали нотариусу заявлений о принятии наследства, но при этом проживали в жилом помещении наследодателя, были в нем зарегистрированы по месту жительства, то считаетесь принявшим наследство в чем бы оно ни состояло и где не находилось.

Если таковых действий не совершалось, то принявшими наследство не считаетесь.

3. Лица, осуществившие расходы на погребение действительно имеют право требовать их возмещения с наследников, принявших наследство, за счет наследственного имущества в соответствии со ст.1174 ГК РФ. Расходы должны быть документально подтверждены.

С уважением